양자컴퓨터 실사용 - 해밀토니언

물리 직관

고전역학에서 에너지는 운동에너지와 위치에너지의 합으로 생각할 수 있습니다. 양자역학에서는 에너지를 숫자 하나가 아니라 연산자 H로 다룹니다. 상태 |\psi\rangle에 대해 평균 에너지는 아래입니다.

$$
E=\langle\psi|H|\psi\rangle
$$

이 식은 VQE와 해밀토니언 실무의 핵심입니다. 회로로 상태를 만들고, H의 기대값을 측정해 에너지를 추정합니다.

역학적 에너지 보존의 현대적 해석

고전역학에서 에너지 보존은 “시간이 지나도 전체 에너지가 변하지 않는다”는 명제로 배웁니다. 더 현대적인 관점에서는 시간 병진 대칭성과 연결됩니다. 물리 법칙이 오늘과 내일 같은 방식으로 작동한다면, 그 대칭에 대응하는 보존량이 에너지입니다.

양자역학에서 이 에너지의 역할을 맡는 연산자가 해밀토니언입니다. 해밀토니언은 단순히 에너지 측정값을 주는 연산자일 뿐 아니라, 시간변화를 만들어내는 generator입니다. 그래서 같은 H가 “에너지를 재는 것”과 “시간에 따라 상태를 움직이는 것”을 동시에 담당합니다.

시간의존 슈뢰딩거 방정식

양자상태의 시간변화는 시간의존 슈뢰딩거 방정식으로 적습니다.

$$
i{\partial\over\partial t}|\psi(t)\rangle
=
H|\psi(t)\rangle
$$

여기서 \hbar=1 단위를 사용했습니다. 해밀토니언이 시간에 따라 변하지 않으면 해는 아래처럼 됩니다.

$$
|\psi(t)\rangle=e^{-iHt}|\psi(0)\rangle
$$

이 식이 양자컴퓨터 실사용에서 중요한 이유는 분명합니다. 물리계를 시뮬레이션한다는 것은 결국 e^{-iHt}를 회로로 구현하거나, 그 해밀토니언의 고유값과 기대값을 추정한다는 뜻입니다.

시간발전

해밀토니언은 시간에 따라 상태가 어떻게 바뀌는지도 결정합니다.

$$
|\psi(t)\rangle=e^{-iHt}|\psi(0)\rangle
$$

여기서 e^{-iHt}는 유니터리입니다. 양자 시뮬레이션은 이 유니터리를 회로로 구현하는 문제입니다. 교양적으로 말하면, 해밀토니언은 “이 물리계가 어떤 규칙으로 움직이는가”를 적은 악보이고, 시간발전 유니터리는 그 악보를 실제로 연주한 결과입니다.

고유상태와 에너지 측정

해밀토니언의 고유상태는 에너지가 확정된 상태입니다.

$$
H|E_j\rangle=E_j|E_j\rangle
$$

상태가 여러 에너지 고유상태의 중첩이면 평균 에너지는 확률가중 평균이 됩니다.

$$
|\psi\rangle=\sum_j c_j|E_j\rangle,
\qquad
\langle H\rangle=\sum_j |c_j|^2E_j
$$

이 관점에서 VQE는 파라미터 회로로 만든 상태가 낮은 에너지 고유상태에 더 많이 겹치도록 만드는 알고리즘입니다. QPE는 시간발전에서 생기는 phase를 읽어 에너지 고유값을 더 직접적으로 추정하는 알고리즘입니다.

Pauli 분해

실제 양자컴퓨터에서는 해밀토니언을 Pauli string의 합으로 바꿉니다.

$$
H=\sum_j c_jP_j
$$

예를 들어 2큐비트 해밀토니언은 아래처럼 생길 수 있습니다.

$$
H=0.5\,Z_0+0.3\,Z_1+0.2\,X_0X_1
$$

그러면 에너지는 항별 기대값의 가중합입니다.

$$
E=0.5\langle Z_0\rangle+0.3\langle Z_1\rangle+0.2\langle X_0X_1\rangle
$$

왜 Pauli로 바꾸는가

양자 하드웨어는 임의의 거대한 행렬 H를 통째로 측정하지 못합니다. 대신 큐비트별 Pauli 측정을 수행합니다. 그래서 해밀토니언을 Pauli string의 합으로 바꾸면, 각 항의 기대값을 측정해 합산할 수 있습니다.

이 구조 때문에 양자컴퓨터의 측정 가능성이 알고리즘 설계를 제한합니다. 수학적으로는 H 하나지만, 실험적으로는 수많은 Pauli term의 기대값 추정 문제입니다. Pauli 항이 많을수록 shots 예산과 grouping 전략이 중요해집니다.

기대값 측정

Z 계열은 계산기저에서 바로 측정할 수 있습니다. X를 측정하려면 측정 전에 Hadamard를 걸어 basis를 바꿉니다.

$$
H X H = Z
$$

Y 측정은 S^\dagger H 같은 basis change를 사용합니다. Pauli string이 많으면 commuting group으로 묶어 측정 횟수를 줄입니다.

양자화학에서의 의미

분자의 전자 구조 문제에서는 전자들의 운동에너지, 핵-전자 상호작용, 전자-전자 상호작용이 해밀토니언에 들어갑니다. 원래는 fermion 연산자로 표현되지만, Jordan-Wigner나 Bravyi-Kitaev 변환을 통해 큐비트 Pauli string으로 바꿉니다.

이 과정을 아주 단순화하면 아래 흐름입니다.

분자 구조를 정한다.
basis set을 고른다.
전자 해밀토니언을 만든다.
fermion-to-qubit mapping으로 Pauli sum을 얻는다.
VQE 또는 QPE로 에너지를 추정한다.

왜 양자컴퓨터가 필요한가

전자들은 양자역학적 입자입니다. 분자 안 전자 상태는 단순히 각 전자가 어디 있는지를 고전적으로 나열하는 문제가 아니라, 많은 가능한 배치의 중첩과 반대칭성, 상관관계를 포함합니다. 전자 수와 orbital 수가 늘면 상태공간이 급격히 커집니다.

양자컴퓨터는 큐비트의 Hilbert space도 텐서곱으로 커집니다. 그래서 전자구조처럼 본질적으로 양자적인 Hilbert space 문제를 더 자연스럽게 표현할 수 있다는 기대가 있습니다. 물론 지금 당장 큰 분자를 정확히 푸는 것은 별개의 문제입니다. NISQ에서는 작은 분자, toy model, 근사 ansatz, 오류 완화가 함께 필요합니다.

실사용 방향

목표	방법
바닥상태 에너지	VQE, QPE
시간에 따른 동역학	Trotter, LCU, QSP/QSVT simulation
화학 반응 경로	여러 구조에서 에너지 계산
물성 모델	Hubbard, Heisenberg 같은 모델 해밀토니언 시뮬레이션

현실적인 주의점

Pauli 항이 많으면 측정 비용이 커집니다.
ansatz가 바닥상태를 표현하지 못하면 VQE가 낮은 에너지를 못 찾습니다.
화학 정확도까지 가려면 오류와 shots 요구량이 커집니다.
큰 문제는 NISQ보다 fault-tolerant 영역의 목표에 가깝습니다.