차원 증가
큐비트 하나는 2차원, 큐비트 n개는 2^n차원이다. 재귀적으로 1큐비트 늘어날 때마다 텐서곱을 통해 차원이 2배가 된다.
$$
|\psi\rangle = \sum_{x\in\{0,1\}^n} a_x |x\rangle,
\qquad
\sum_x |a_x|^2=1
$$Kronecker product
행렬 A와 B의 텐서곱은 block matrix로 계산합니다.
$$
A\otimes B =
\begin{bmatrix}
a_{00}B & a_{01}B\\
a_{10}B & a_{11}B
\end{bmatrix}
$$예를 들어 X\otimes I는 첫 번째 큐비트만 뒤집습니다.
$$
(X\otimes I)|00\rangle=|10\rangle,\qquad
(X\otimes I)|01\rangle=|11\rangle
$$큐비트 순서 주의
프레임워크마다 qubit ordering convention이 다를 수 있습니다. 수학 문서에서는 보통 |q_0q_1\rangle 순서를 그대로 쓰지만, SDK에서는 little-endian 표시를 쓰는 경우가 있습니다.
필자도 Qiskit을 처음 사용할 때 큐비트 순서를 정방향으로 입력했다가 결과 bitstring이 반대로 나온 적이 있습니다. Qiskit 결과를 볼 때는 little-endian이 기본이라고 생각하고, 화면에 찍힌 문자열과 수학적으로 생각한 레지스터 순서가 같은지 먼저 확인하는 편이 안전합니다.
계산이 꼬이면 먼저 basis ordering을 명시합니다.
$$
|00\rangle, |01\rangle, |10\rangle, |11\rangle
$$특정 큐비트에만 게이트 적용
3큐비트에서 가운데 큐비트에 H를 적용하려면 양쪽에 항등행렬을 붙입니다.
$$
I\otimes H\otimes I
$$입력 |010\rangle에 적용하면 가운데 1이 |-\rangle로 바뀝니다.
$$
(I\otimes H\otimes I)|010\rangle
=
|0\rangle\otimes {|0\rangle-|1\rangle\over\sqrt{2}}\otimes |0\rangle
$$왜 전체 행렬을 만들지 않는가
10큐비트 유니터리는 1024\times1024 행렬입니다. 30큐비트가 되면 상태벡터만으로도 이미 2^{30}개 진폭이 필요합니다.
그래서 실제 시뮬레이터는 회로를 게이트별로 적용하고, 실제 하드웨어는 큰 행렬을 만들지 않고 펄스와 게이트 sequence로 실행합니다.
회로설계 규칙
- 작은 게이트의 수학적 의미를 먼저 확인합니다.
- 어느 큐비트에 적용되는지 텐서 위치를 명시합니다.
- basis ordering을 고정합니다.
- 전체 행렬보다 게이트 sequence를 기준으로 생각합니다.
basis index를 숫자로 읽는 법
n큐비트 basis state는 비트열이면서 동시에 정수 인덱스입니다. 예를 들어 big-endian 관례를 쓰면 |q_0q_1q_2\rangle는 아래 정수에 대응합니다.
$$
q_0q_1q_2
\quad\mapsto\quad
4q_0+2q_1+q_2
$$따라서 3큐비트 상태벡터의 진폭 배열은 보통 아래 순서입니다.
$$
(a_{000},a_{001},a_{010},a_{011},a_{100},a_{101},a_{110},a_{111})^T
$$SDK가 little-endian 출력 convention을 쓰면 화면에 보이는 bitstring과 수학적으로 생각한 qubit 순서가 반대로 느껴질 수 있습니다. 실험 결과를 해석할 때 이 차이가 버그처럼 보이는 경우가 많습니다.
3큐비트에서 가운데 큐비트에 X 적용하기
3큐비트 상태에서 가운데 큐비트에 X를 적용하는 연산은 I\otimes X\otimes I입니다. basis state에 직접 적용하면 가운데 비트만 뒤집힙니다.
$$
|000\rangle\mapsto|010\rangle,\quad
|001\rangle\mapsto|011\rangle,\quad
|100\rangle\mapsto|110\rangle
$$일반 상태에 적용하면 각 진폭의 위치가 permutation됩니다.
$$
\sum_{a,b,c} \alpha_{abc}|abc\rangle
\mapsto
\sum_{a,b,c} \alpha_{abc}|a(1-b)c\rangle
$$이 관점은 simulator를 구현할 때도 중요합니다. 큰 행렬을 만들지 않고, 진폭 배열에서 target bit가 다른 위치끼리 pair를 이루어 업데이트합니다.
제어게이트의 텐서 확장
두 큐비트 인접 게이트를 전체 n큐비트 공간에 올리는 것은 단순히 I\otimes U\otimes I처럼 깔끔하지 않을 때가 많습니다. 특히 control과 target이 떨어져 있으면 basis index에서 특정 두 비트를 골라 조건부 업데이트를 해야 합니다.
예를 들어 4큐비트에서 0번 큐비트가 control, 3번 큐비트가 target인 CX는 아래처럼 작동합니다.
$$
|q_0q_1q_2q_3\rangle
\mapsto
|q_0q_1q_2(q_3\oplus q_0)\rangle
$$수학적으로는 permutation matrix이지만, 회로 컴파일러는 실제 하드웨어에서 두 큐비트가 연결되어 있는지 먼저 봅니다. 연결되어 있지 않으면 SWAP을 넣어 서로 가까이 가져옵니다.
상태벡터 업데이트 관점
단일 큐비트 게이트를 n큐비트 상태에 적용하는 것은 진폭 배열의 pair 업데이트입니다. target bit가 0인 인덱스 i와 target bit가 1인 인덱스 j를 묶습니다.
$$
\begin{bmatrix}
a_i'\\
a_j'
\end{bmatrix}
=
U
\begin{bmatrix}
a_i\\
a_j
\end{bmatrix}
$$예를 들어 H를 target bit에 적용하면 각 pair는 아래처럼 바뀝니다.
$$
a_i'={a_i+a_j\over\sqrt{2}},\qquad
a_j'={a_i-a_j\over\sqrt{2}}
$$이 pair 업데이트가 constructive/destructive amplitude의 가장 낮은 수준의 계산입니다. 두 진폭이 같은 부호면 한쪽은 커지고, 다른 쪽은 0이 될 수 있습니다.
큰 행렬을 만들지 않는 이유
n큐비트 유니터리는 2^n\times2^n 행렬입니다. 20큐비트만 되어도 행렬 원소 수는 2^{40}개입니다. 이는 단순 학습 예제가 아니라면 직접 만들 수 없는 크기입니다.
그래서 실제 회로설계와 시뮬레이션은 다음 관점을 씁니다.
- 회로는 큰 행렬 하나가 아니라 작은 로컬 게이트들의 sequence다.
- 각 게이트는 관련된 qubit subset의 진폭만 업데이트한다.
- 얽힘이 적거나 구조가 있으면 tensor network 등으로 압축할 수 있다.
- 하지만 일반적인 깊은 회로는 빠르게 고전 시뮬레이션이 어려워진다.