양자채널과 정보량

밀도행렬

순수상태 |\psi\rangle는 밀도행렬로 아래처럼 씁니다.

$$
\rho = |\psi\rangle\langle\psi|
$$

확률적으로 여러 상태 중 하나가 준비되는 경우에는 혼합상태가 됩니다.

$$
\rho = \sum_i p_i |\psi_i\rangle\langle\psi_i|,
\qquad
\sum_i p_i=1
$$

밀도행렬은 부분계, 잡음, 측정 후 상태를 다룰 때 필수입니다. 실제 장비에서는 순수상태보다 밀도행렬 관점이 더 자연스러운 경우가 많습니다.

양자채널은 상태를 다른 상태로 보내는 물리적으로 가능한 변환입니다. 가장 일반적인 표기 중 하나는 Kraus 표현입니다.

$$
\mathcal{E}(\rho)
=
\sum_k E_k\rho E_k^\dagger,
\qquad
\sum_k E_k^\dagger E_k = I
$$

유니터리 게이트는 채널의 특수한 경우입니다.

$$
\mathcal{E}(\rho)=U\rho U^\dagger
$$

노이즈, 측정, 일부 큐비트 버리기, reset 같은 과정은 모두 채널로 볼 수 있습니다.

양자상태의 불확실성은 von Neumann entropy로 측정합니다.

$$
S(\rho) = -\mathrm{Tr}(\rho\log\rho)
$$

순수상태의 entropy는 0입니다. 완전 혼합상태 I/2는 큐비트 하나에서 최대의 불확실성을 갖습니다.

$$
S(|\psi\rangle\langle\psi|)=0,
\qquad
S(I/2)=1
$$

얽힌 순수상태의 부분계가 혼합상태로 보이는 현상은 entropy로 정량화할 수 있습니다. 이때 부분계 entropy는 얽힘의 양을 재는 지표로 쓰입니다.

큐비트 하나가 늘 때마다 상태공간 차원은 두 배가 됩니다.

$$
n\text{ qubits}
\quad\Rightarrow\quad
\dim = 2^n
$$

상태벡터는 복소수 2^n개를 필요로 하고, 밀도행렬은 2^n\times2^n 크기를 가집니다.

$$
|\psi\rangle \in \mathbb{C}^{2^n},
\qquad
\rho \in \mathbb{C}^{2^n\times 2^n}
$$

이 때문에 일반적인 양자상태의 고전 시뮬레이션은 빠르게 어려워집니다. 반대로 말하면, 회로설계자는 이 거대한 공간 전체를 직접 쓰는 것이 아니라 게이트의 구조, 얽힘의 범위, 회로 깊이를 이용해 다룰 수 있는 문제를 설계합니다.

양자 알고리즘은 정답 경로의 진폭은 크게 만들고, 오답 경로의 진폭은 서로 상쇄되게 만드는 방식으로 작동하는 경우가 많습니다.

같은 결과 x에 도달하는 여러 경로의 진폭은 더해집니다.

$$
A(x)=\sum_{\text{paths }p\to x} A(p)
$$

진폭의 위상이 같은 방향이면 constructive amplitude가 되어 확률이 커집니다.

$$
A_1=A_2={1\over2}
\quad\Rightarrow\quad
|A_1+A_2|^2=1
$$

반대로 위상이 반대면 destructive amplitude가 되어 사라질 수 있습니다.

$$
A_1={1\over2},\quad A_2=-{1\over2}
\quad\Rightarrow\quad
|A_1+A_2|^2=0
$$

중요한 점은 확률을 더하는 것이 아니라 진폭을 먼저 더하고, 마지막에 절댓값 제곱을 취한다는 것입니다.

$$
\Pr(x)=|A(x)|^2
$$

Deutsch-Jozsa, Bernstein-Vazirani, Shor의 QFT, Grover의 amplitude amplification은 모두 이 간섭 설계를 다른 방식으로 사용합니다.

실제 양자컴퓨터 응용에서는 “상태를 저장한다”보다 “회로가 원하는 진폭 분포를 만들게 한다”가 더 중요합니다. VQA에서는 파라미터화된 회로가 좋은 진폭 분포를 만들도록 최적화하고, QFT 계열 알고리즘에서는 위상 정보를 측정 가능한 확률분포로 바꿉니다.

잡음은 constructive interference를 약하게 만들고 destructive interference를 불완전하게 만들어 오답 확률을 남깁니다. 그래서 채널, 밀도행렬, 정보량, 하드웨어 오류 개념이 알고리즘 분석과 분리되지 않습니다.