큐비트
큐비트 하나는 2차원 복소 벡터공간의 정규화된 상태입니다.
$$
|\psi\rangle = \alpha|0\rangle+\beta|1\rangle,
\qquad
|\alpha|^2+|\beta|^2=1
$$여기서 \alpha와 \beta는 확률 자체가 아니라 확률 진폭입니다. 실제로 계산기저에서 측정했을 때 0이 나올 확률은 |\alpha|^2, 1이 나올 확률은 |\beta|^2입니다.
$$
\Pr(0)=|\alpha|^2,\qquad
\Pr(1)=|\beta|^2,\qquad
\Pr(0)+\Pr(1)=1
$$즉 앞의 계수는 “0일 가능성, 1일 가능성”을 담고 있지만, 복소수 위상까지 포함합니다. 위상은 단독 측정 확률에서는 안 보일 수 있어도, 뒤에서 다른 경로와 합쳐질 때 constructive/destructive interference를 만듭니다.
측정하면 하나의 spot으로 정해진다
측정 전 큐비트는 여러 결과의 가능성을 진폭으로 들고 있지만, 측정 순간에는 관측한 기저의 한 상태로 결과가 정해집니다. 직관적으로 말하면 Bloch sphere 위의 연속적인 상태가 측정축의 한쪽 spot으로 찍히는 것입니다.
계산기저 측정에서는 가능한 spot이 두 개입니다.
$$
|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle
\quad\xrightarrow{\text{measure in Z basis}}\quad
\begin{cases}
|0\rangle & \text{with probability }|\alpha|^2\\
|1\rangle & \text{with probability }|\beta|^2
\end{cases}
$$측정 후 상태는 관측 결과와 일치하는 상태로 갱신됩니다. 그래서 같은 큐비트를 같은 기저로 바로 다시 측정하면 같은 결과가 나옵니다. 이 성질 때문에 양자 알고리즘은 “마지막에 어떤 spot으로 찍히게 할 것인가”를 목표로 진폭과 위상을 설계합니다.
전역 위상과 상대 위상
전체 상태에 같은 위상을 곱한 전역 위상은 측정 결과를 바꾸지 않습니다.
$$
|\psi\rangle \sim e^{i\theta}|\psi\rangle
$$반면 |0\rangle 성분과 |1\rangle 성분 사이의 상대 위상은 간섭 결과를 바꿉니다. Hadamard, phase gate, QFT가 중요한 이유가 여기서 나옵니다.
Bloch sphere
큐비트 순수상태는 전역 위상을 무시하면 구면 위의 한 점으로 나타낼 수 있습니다.
$$
|\psi\rangle
=
\cos{\theta\over2}|0\rangle
+ e^{i\phi}\sin{\theta\over2}|1\rangle
$$\theta는 북극 |0\rangle에서 얼마나 내려왔는지, \phi는 적도 방향의 상대 위상을 나타냅니다. X, Y, Z, H, 회전 게이트는 Bloch sphere 위에서 점을 움직이는 연산으로 볼 수 있습니다.
여러 큐비트 상태
큐비트 두 개의 상태공간은 텐서곱으로 커집니다.
$$
\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2
\cong
\mathbb{C}^4
$$계산기저는 |00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle입니다. 일반적인 두 큐비트 상태는 아래처럼 씁니다.
$$
|\psi\rangle
=
a_{00}|00\rangle+a_{01}|01\rangle
+a_{10}|10\rangle+a_{11}|11\rangle
$$얽힘
두 큐비트 상태가 각 큐비트의 상태로 분리되어 쓸 수 있으면 product state입니다.
$$
|\psi\rangle = |\phi\rangle\otimes|\chi\rangle
$$그렇게 쓸 수 없는 상태가 얽힌 상태입니다. 얽힘은 “상관관계가 강하다”보다 더 엄격한 말입니다. 각 부분만 따로 보면 불확실하지만, 전체 상태는 순수하게 정의될 수 있습니다.
Bell 상태
가장 대표적인 얽힘 상태는 Bell 상태입니다.
$$
|\Phi^+\rangle
=
{|00\rangle+|11\rangle\over\sqrt{2}}
$$첫 번째 큐비트를 측정해서 0이 나오면 두 번째도 0이고, 첫 번째가 1이면 두 번째도 1입니다. 하지만 측정 전에는 각 큐비트가 독립적인 순수상태를 가진다고 말할 수 없습니다.
Bell 상태는 Hadamard와 CX로 만들 수 있습니다.
$$
\mathrm{CX}(H\otimes I)|00\rangle
=
{ |00\rangle+|11\rangle \over \sqrt{2}}
$$Partial trace
전체 상태는 알고 있지만 그중 일부 큐비트만 보고 싶을 때 partial trace를 씁니다. 전체 밀도행렬이 \rho_{AB}일 때 A만의 상태는 B를 trace out해서 얻습니다.
$$
\rho_A = \mathrm{Tr}_B(\rho_{AB})
$$Bell 상태 전체는 순수상태지만, 한 큐비트만 보면 완전 혼합상태가 됩니다.
$$
\rho_A =
{1\over2}
\begin{bmatrix}
1&0\\
0&1
\end{bmatrix}
= {I\over2}
$$이 결과는 얽힘의 중요한 특징입니다. 전체는 완전히 알고 있는데, 부분만 떼어 보면 최대한 무작위처럼 보일 수 있습니다.
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참고자료
- Nielsen and Chuang, Quantum Computation and Quantum Information.
- John Watrous, The Theory of Quantum Information.
- John Preskill, Quantum Computation Lecture Notes.