선형대수 요약 - Yangja Wiki

상태공간과 벡터

양자상태는 복소 벡터공간의 단위벡터로 표현합니다. 큐비트 하나의 상태공간은 2차원 복소 벡터공간 \mathbb{C}^2입니다.

$$
|\psi\rangle =
\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle,
\qquad
\alpha,\beta \in \mathbb{C}
$$

\alpha와 \beta는 확률이 아니라 확률 진폭입니다. 상태벡터는 정규화되어야 하므로 아래 조건을 만족합니다.

$$
|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1
$$

기저와 좌표

기저는 상태를 좌표로 적기 위한 기준입니다. 계산기저는 보통 아래처럼 둡니다.

$$
|0\rangle =
\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},
\qquad
|1\rangle =
\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}
$$

같은 상태라도 어떤 기저로 보느냐에 따라 좌표 표현은 달라집니다. Hadamard 기저는 알고리즘에서 간섭을 설명할 때 자주 등장합니다.

$$
|+\rangle = { |0\rangle + |1\rangle \over \sqrt{2}},
\qquad
|-\rangle = { |0\rangle - |1\rangle \over \sqrt{2}}
$$

브라-켓 표기와 내적

켓 |\psi\rangle은 열벡터이고, 브라 \langle\psi|는 켤레전치한 행벡터입니다.

$$
|\psi\rangle =
\begin{bmatrix}\alpha\\\beta\end{bmatrix},
\qquad
\langle\psi| =
\begin{bmatrix}\alpha^* & \beta^*\end{bmatrix}
$$

내적은 두 상태가 얼마나 겹치는지를 나타냅니다. 상태가 정규화되어 있으면 자기 자신과의 내적은 1입니다.

$$
\langle\psi|\psi\rangle = 1,
\qquad
|\langle\phi|\psi\rangle|^2
= \text{state overlap probability}
$$

선형변환과 행렬

양자 게이트는 상태벡터에 작용하는 선형변환입니다. 예를 들어 Pauli-X 게이트는 |0\rangle와 |1\rangle를 서로 바꿉니다.

$$
X =
\begin{bmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{bmatrix},
\qquad
X|0\rangle=|1\rangle,\quad X|1\rangle=|0\rangle
$$

행렬의 각 열은 기저 상태가 어디로 가는지를 나타냅니다. 그래서 게이트 행렬을 읽을 때는 열벡터를 하나씩 보는 습관이 좋습니다.

유니터리와 확률 보존

이상적인 양자 게이트는 유니터리 행렬입니다. 유니터리는 켤레전치와 곱했을 때 항등행렬이 되는 행렬입니다.

$$
U^\dagger U = U U^\dagger = I
$$

이 조건은 벡터의 길이와 내적을 보존합니다. 따라서 게이트 적용 후에도 전체 측정 확률의 합은 1입니다.

$$
\langle U\psi|U\psi\rangle
=
\langle\psi|U^\dagger U|\psi\rangle
=
\langle\psi|\psi\rangle
$$

부분공간과 사영

부분공간은 벡터공간 안에서 덧셈과 스칼라배에 대해 닫혀 있는 작은 공간입니다. 측정은 상태를 어떤 부분공간으로 사영하는 과정으로 볼 수 있습니다.

$$
P^2=P,\qquad P^\dagger=P
$$

위 조건을 만족하는 행렬 P는 직교사영 연산자입니다. 상태 |\psi\rangle가 부분공간에 걸릴 확률은 아래처럼 씁니다.

$$
\Pr(P)=\langle\psi|P|\psi\rangle
$$

텐서곱

큐비트가 늘어나면 상태공간은 단순히 차원을 더하는 것이 아니라 텐서곱으로 커집니다. 큐비트 두 개는 \mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2에 살고, 차원은 4입니다.

$$
|0\rangle \otimes |1\rangle = |01\rangle
$$

일반적으로 n 큐비트 상태공간의 차원은 2^n입니다. 이 지수적 성장이 양자 컴퓨팅의 힘이자 시뮬레이션을 어렵게 만드는 원인입니다.

$$
(\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle)
\otimes
(\gamma|0\rangle+\delta|1\rangle)
=
\alpha\gamma|00\rangle
+\alpha\delta|01\rangle
+\beta\gamma|10\rangle
+\beta\delta|11\rangle
$$

스펙트럼 분해

Hermitian 행렬은 직교 고유기저로 분해할 수 있습니다. 관측가능량을 설명할 때 이 구조가 핵심입니다.

$$
A = \sum_i \lambda_i |i\rangle\langle i|
$$

여기서 \lambda_i는 가능한 측정값이고, |i\rangle\langle i|는 해당 고유공간으로의 사영입니다. 상태 |\psi\rangle에서 결과 \lambda_i를 얻을 확률은 Born 규칙으로 계산합니다.

$$
\Pr(\lambda_i)=|\langle i|\psi\rangle|^2
$$

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참고자료

Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information.
John Preskill, Lecture Notes for Physics 219: Quantum Computation.
John Watrous, The Theory of Quantum Information.

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