좌표와 벡터
평면 위의 점은 두 숫자로 적습니다. 원점에서 그 점까지 향하는 화살표로 보면 이것이 벡터입니다.
$$
v =
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
$$고등학교 기하에서 좌표평면의 점을 옮기고, 돌리고, 대칭시키는 과정은 선형대수에서 행렬로 정리됩니다.
행렬은 평면을 움직이는 규칙
2x2 행렬은 2차원 벡터를 다른 2차원 벡터로 보냅니다.
$$
A =
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix},
\qquad
Av =
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
ax+by \\
cx+dy
\end{bmatrix}
$$이 식은 첫 번째 좌표가 ax+by, 두 번째 좌표가 cx+dy로 바뀐다는 뜻입니다. 행렬을 외울 때보다 “격자 전체가 어떻게 움직이는가”를 떠올리는 편이 회로와 게이트를 읽을 때 훨씬 유리합니다.
확대, 반사, 회전
가장 쉬운 행렬은 좌표축 방향으로 확대하는 행렬입니다.
$$
\begin{bmatrix}
2 & 0 \\
0 & 3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2x \\
3y
\end{bmatrix}
$$x축 대칭은 y좌표의 부호만 바꿉니다.
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x \\
-y
\end{bmatrix}
$$각도 \theta만큼 회전하는 행렬은 삼각함수로 씁니다.
$$
R(\theta)=
\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}
$$열벡터로 보는 법
행렬의 첫 번째 열은 e_1이 어디로 가는지, 두 번째 열은 e_2가 어디로 가는지 알려줍니다.
$$
A =
\begin{bmatrix}
| & | \\
Ae_1 & Ae_2 \\
| & |
\end{bmatrix}
$$즉 행렬은 “기준 화살표들이 이동한 결과”를 열로 모아둔 표입니다. 양자 게이트 행렬을 볼 때도 각 열은 계산기저 상태가 어디로 가는지를 뜻합니다.
행렬곱은 변환의 합성
행렬곱 BA는 먼저 A를 적용하고, 그 다음 B를 적용한다는 뜻입니다.
$$
v \mapsto Av \mapsto B(Av) = (BA)v
$$그래서 일반적으로 AB \ne BA입니다. 회전을 먼저 하고 반사를 하는 것과, 반사를 먼저 하고 회전하는 것은 결과가 다를 수 있습니다.
행렬식과 역행렬
2차원에서 행렬식은 면적이 몇 배로 바뀌는지를 나타냅니다.
$$
\det
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
= ad-bc
$$행렬식이 0이면 평면이 선이나 점으로 눌려서 정보가 사라집니다. 이 경우 역변환을 만들 수 없습니다. 양자 게이트는 정보를 보존해야 하므로, 이상적인 게이트는 단순히 역행렬이 있는 정도를 넘어 유니터리 조건을 만족합니다.
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참고자료
- Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra.
- 3Blue1Brown, Essence of Linear Algebra.